一.小波变换课程体会
小波变换，由傅立叶变换发展进化而来。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是“变换”。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么呢？是基。在线性代数里，基是空间中的一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。基在变换中有什么作用呢？傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的基的线性组合表示出来。小波变换也不例外，也和空间中的基有关。处理图像时图像拉伸，反转，等等一系列操作，都和基的改变有关。
基的选取非常重要，基的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的基，什么样的基比较好，很大程度上取决于这个基服务于什么应用。如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望基能够用很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给去掉了，信号也不会损失很多。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的基，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。傅立叶变换是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶所用的函数基是专门挑选的，是正交的，是利于计算傅里叶系数的。但千万别误解为展开变换所用的基都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒级数展开的基就只是简单的非正交多项式。有了傅立叶变换的基础，我们来认识小波变换。首先从字面上来理解，小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。这个“小”，是针对傅立叶波而言的。傅立叶所用的波是正弦波，有无穷的能量，同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡。
这种小波有什么好处呢？它对于分析瞬时时变信号非常有用。它可以有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。小波变换的本质和傅立叶变换类似，也是用精心挑选的小波基来表示信号方程。每个小波变换都有一个母小波，同时还有一个尺度函数，也被成为父小波。任何小波变换的小波基函数，其实就是对母小波和父小波缩放和平移后得到的集合。小波变换允许更加精确的局部描述以及信号特征的分离。一个傅立叶系数通常表示某个贯穿整个时间域的信号分量，因此，即使是临时的信号，其特征也被强扯到了整个时间周期去描述。而小波展开的系数则代表了对应分量它当下的自己，因此非常容易诠释。对于傅立叶变换以及大部分的信号变换系统，他们的函数基都是固定的，那么变换后的结果只能按部就班被分析推导出来，没有任何灵活性。而对于小波变换来讲，基是变的，是可以根据信号来推导或者构建出来的，只要符合小波变换的性质和特点即可。也就是说，如果你有着比较特殊的信号需要处理，你甚至可以构建一个专门针对这种特殊信号的小波基函数集合对其进行分析。这种灵活性是任何别的变换都无法比拟的。总结来说，傅立叶变换适合周期性的，统计特性不随时间变化的信号; 而小波变换则适用于大部分信号，尤其是瞬时信号。它针对绝大部分信号的压缩，去噪，检测效果都特别好。
小波变换已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构。从数学的角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），小波分析的许多分析和应用问题，都可以归结为信号处理问题。
二、引言
人体脉搏系统是心血管系统的重要组成部分，它是人体输送养料、传递能量和传播各种生理病理信息的重要途径。脉搏波是心脏的搏动沿动脉血管和血流向外周传播而形成的。脉搏信息在中国传统医学（中医）和现代医学（西医）中具有重要的临床诊断价值，人体任何一个脏器发生了病变或收到了外界的侵袭，都会直接或间接地影响到脉搏系统，不可避免地使血管特性、功能以及血液的质与量等发生变化，而这些变化将以某些特征显现在脉搏波中。因此，脉搏波的波形幅度、形态、速度等特征参数，反映了心脏和血管血流状况的重要生理信息。
脉搏波是一种以低频成分为主的生理信号，属于非平稳微弱信号。在正常生理情况下，健康人的脉搏能量主要分布在0.5~5Hz范围内，单个脉搏波图形如图1所示，它包括：（1）上升段，左心室开始收缩，主动脉瓣开启，主动脉因射血而压力迅速上升；（2）下降段A，左心室排空量和主动脉排空量相等，射血后期动脉压开始下降，由于外周动脉受到左心室喷血的冲击形成反射波B，随后主动脉瓣关闭，由于血管的会弹，动脉血液由远心端向近心端回流形成重博波C，重博波C与反射波B形成波谷D。
心脑血管疾病已成为威胁人类健康的主要疾病，动脉硬化在其中起着重要的作用。多年的临床实验表明，脉搏波速度（pulse wave velocity,PWV）是动脉硬度的指示器，PWV已成为各国学者公认的动脉硬度的评价方法。脉搏波的波形分析技术是心血管疾病的早期追踪治疗及治疗过程中的疗效观察重要手段，此外，光电脉搏波技术已经成熟地应用于血氧饱和度的测量中，通过分光光度原理检测血液对光吸收量的变化，求得氧合血红蛋白占血红蛋白的百分比，进而反映血液成分的信息。不仅如此增加不同波长下的光电脉搏波的测量，目前已成为国内外无创血液成分检测的研究热点。不难看出，对脉搏波信息的准确提取和定量的分析具有非常重要的应用价值。
然而，由于脉搏波的复杂性和易受干扰性，至今对脉搏波的精确识别和分类仍是生物医学研究领域的一个重要课题。目前对脉搏波信号的分析处理组要分为两大类：一类是在脉搏波信号的检测和采集时，由于受仪器、人体等方面的影响，所采集的信号中常常伴随着各种不同的噪声和干扰，主要包括测量系统本身引入的系统噪声和随机噪声、被测者的呼吸、抖动引起的基线漂移等噪声，如何抑制噪声干扰提高信噪比是进行下一步对脉搏波信号处理的关键；另一类是脉搏波信号标志点位置、幅值等特征参数的精确提取，由此通过心血管血流动力学模型计算出血流动力学参数，为临床诊断提供帮助。
三、主要研究方法
目前脉搏波信号处理分析的方法包括：相干平均法、时域分析法、频域分析法、时频联合分析法、数学建模分析法和脉搏波传播速度分析法等。
相干平均法主要应用于周期性或准周期性多次重复出现信号的提取，而脉搏波信号就是随着心脏有规律的周期性运动而周期产生的。脉搏波信号与噪声重叠在一起，信号可以重复出现，而噪声是随机信号，因此可以用叠加法来提取有用的信号，提高信噪比。在这里，叠加是按脉搏波信号的周期进行叠加。
时域分析法是指在时域脉搏波图上分析波动信号的动态特征，通过对主波、重搏前波和重搏波的高度、比值、时值、夹角和面积值等进行参量分析，找出某些特征与人体生理病理变化的内在联系。时域分析法是目前最常用的脉搏波分析方法，主要包括直观形态法和波图面积法等。
频域分析法是近代物理学、工程力学中常用的一种对周期性波动信息做数值分析的方法。此法通过离散快速傅里叶变换，将时域的脉搏波信号变换到频域，从脉搏波频谱中提取与人体生理病理相应的信息，主要观察振幅、相位随频率的变化，找出信号在时域中不太明显而在频域中比较明显的特征。具体方法包括功率谱分析和倒谱分析等。
时频联合分析法是把一维信号或系统表示成一个时间和频率的二维函数，时频平面能描述出各个时刻的谱成分。常用的时频表示方法有短时傅立叶变换和小波变换等。利用小波变换可在信号的不同部位得到最佳时域分辨率和频域分辨率，具有可变的时间和频率分辨率，把傅立叶变换中的正弦基函数修改成整个时频平面的基函数，最终达到高频处时间细分和平低频处频率细分，自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节。小波变换这种独特的能力使它成为分析脉搏波这种非平稳信号的有利工具，可以实现对脉搏波信号同时进行时域、频域特征值的提取和分析。
这些方法在脉搏波信号的处理和分析上取得了一定的成果，但也存在一些不尽人意的地方：相干平均的方法随着累加次数的增加信噪比显著提高，但所需要的时间也越长；傅立叶变换具有最优的频率分辨率，但时间分辨率差，不适宜分析非平稳信号；短时傅立叶变换时频窗固定，很难对包含不同尺度信号进行特征提取。小波变换是一种实用的时频分析方法，在时频两域都具有良好的局部化特性。小波变换的窗口随频率的增加而缩小, 符合高频信号分辨率高的要求，而且小波变换经适当离散化后能构成标准正交系。在许多领域的研究表明，小波变换的信号分解效果明显优于其他方法，尤其对常规方法难以奏效的一些问题，如在微弱信号、非平稳信号、 瞬态信号及奇异信号的检测中都显示出其独特的优越性。最重要的是小波变换具有多分辨分析的特征,可以在不同尺度上获得信号的不同频率成分。因此，这些特性使得小波变换无论在脉搏波信号的去噪还是特征的提取都能取得较好的效果，具有较好的应用前景。
利用小波变换提取脉搏信号的方法一般分三类：第一类是阈值滤波法；第二类是平移不变量法；第三类是模极大值重构滤波。
阈值滤波法的主要原理是：信号经小波变换后，噪声能量小于信号能量，与之对应的小波系数也将小于信号对应的小波系数，则可以将小于某阈值的小波系数去除而实现去噪。一般来说，噪声处于高频段，信号处于低频段，则可利用小波变换的多分辨特性，将原始信号分解为不同频段下的信号，根据阈值滤波法去掉某些“细节”，再用小波逆变换恢复剩余的信号，得到去除干扰的信号。处理阈值的方法有硬阈值法和软阈值法。
平移不变量法是对阈值法的改进。在强噪声背景下，当信号具有突变的不连续点或信噪比较低时，阈值法去噪会出现伪吉布斯现象，即在不连续点附近的信号会在应有信号电平上上下跳变。利用平移不变量法去噪，则可有效地抑制这种现象。其方法是对含噪信号进行n次循环平移，对平移后的信号再进行阈值法去噪处理，最后对去噪结果进行平均。
模极大值法是根据信号和噪声在小波变换下的不同特性，采用模极大值去噪的算法，包括Mallat交替投影算法和模极大值小波域去噪算法。Mallat交替投影算法是通过剔除那些幅度随尺度而减小的模极大值点，保留幅度随尺度而增大的模极大值点，然后将剩余的模极大值利用模极大值重构算法来重建原始信号，达到滤波去噪的目的。而模极大值小波域算法是先用Adhoc算法求出信号的模极大值，再根据模极大值小波域的定义求出信号的模极大值小波域，从而得到信号的小波系数，然后逆变换得到信号。
以上三种方法在脉搏波信号的去噪和提取脉搏波弱信号特征上都获得较好的效果，体现了小波变换同时在时频域对信号分析的特点，以及小波变换的低熵性、多分辨率、去相关性和选基灵活性等特点。以下即通过小波算法对实际采集的脉搏波信号进行降噪处理以及特征提取。
四、小波变换在脉搏波降噪处理中的应用
4.1 小波重构法去噪提取脉搏波信号
实验中采用的数据为利用多波长光电脉搏波采集系统采集的数据解调出940 nm波长上的脉搏波信号，信号如图1所示。其中该信号通道的采样频率为62 Hz，因此信号频率在0~31 Hz，采样时间为30 s，即采样点数为1860。从图中可以看出，脉搏波信号几乎被噪声淹没，信噪比较低。
由于小波变换可以将信号限制在一个固定的频带范围内，而且脉搏波的能量主要分布在0.5~5 Hz范围内。因此专门针对低信噪比信号用的是小波重构法去噪，不仅去除了大量高频噪声，且比起小波阈值法去噪和模极大值法去噪计算量要小。小波变换对该脉搏波四层分解的频带划分如图2所示。从图中可以看出对信号进行两层分解后，低频信号0~7.75 Hz即落在我们所要研究的信号范围内。这样将研究频带内的小波系数重构出信号，即将频带外的高频信号滤除，可有效滤除高频干扰。在利用小波变换方法对信号进行处理的过程中，小波基函数的选择十分重要，利用不同小波基函数对信号进行分解，可以突出不同特点的信号特征。小波变换本质上是一种相似性运算，在选取小波基函数时尽量选取和脉搏波相似的小波，才能达到最好的去噪效果。在各种小波基函数中，Sym8小波函数和原始脉搏波信号更为相似，所以选取Sym8小波函数作为小波基对阈值函数进行分解。对信号进行四层分解重构波形如图3所示。
图2 脉搏波四层分解频带划分图
图3 基于sym8小波函数不同分解层次的去噪效果比较图
从图3中可以看出，小波重构法可以较好地滤除脉搏波频带范围外的高频成分，实现信号的去噪。图中第二层低频重构信号包含了脉搏波信号的所有信息，第三层以及第四层低频重构脉搏波信号较第二层更平滑，但丢失了脉搏波信号中一些信息。然而从图3中重构的信号可以看到基线漂移以及运动伪差噪声仍然与脉搏波信号共存。
4.2 小波变换去除基线漂移
对于上述提取0~7.75 Hz频段内有用脉搏波信号频段，基线信号存在与脉搏波信号中。对于基线，一般频率小于0.5 Hz，不存在与脉搏信号频谱重叠的区域。因此采用基于sym8小波函数对信号进行八层分解，提取0~0.1 Hz内的基线信号，如图4所示。将基线信号从脉搏波信号中扣除，即可获得滤除基线漂移的脉搏波信号，如图5所示。从图中可以看出，小波分解提取基波信号能有效从原始信号中滤除基线。然而从图5中可以分析出，运动伪差噪声与脉搏波频谱存在一定的重叠，采用小波分解提取这部分信号难以实现滤除。
图4 小波变换提取基线信号
图5 滤除基线漂移的脉搏波信号
4.3 结合小波和EMD脉搏波运动伪差噪声去除
Huang提出的EMD (empirical mode decomposition, EMD) 即经验模态分解，将信号进行层层筛分，从而获得从小尺度到大尺度的有序排列的多阶IMF (内在模式函数)。根据分析的目地，可以把内在的模式函数组合，从而突出信号的某种特征。该方法分解重构简单，而且对有用信号频带内的噪声有一定的抑制作用。因此对小波分解后脉搏波信号频带内的小波系数，进一步做EMD方法的分解，得到新的小波系数。重构的脉搏波信号如图6所示。从图中可以看出，由于运动带来的噪声基本被消除，说明小波结合EMD的方法对于与脉搏波信号频带相重叠的运动伪差噪声具有较好的抑制作用。从图中还可看出，脉搏波信号的被平滑，丢失了一些对于诊断有用的高频信息，由于对EMD分解重构的方法了解得不够，该方法只能说明了在脉搏波信号去除运动到来误差的可行性，还需要进一步了解和深入研究。
图6 结合小波和EMD去除运动伪差后的脉搏波信号
4.4 基于小波变换的脉搏波特征值提取
小波变换即实现脉搏波波形中的波峰波谷检测。小波变换在信号处理应用的一个重要方面即检测信号的奇异点。奇异点处信号的上升沿、下降沿，对应于小波变换细节信号的一对局部极值，称之为“模极大值”或“正极大值-负极小值对”。目前峰值检测方法的核心是在某一个或某几个尺度内搜索小波变换模极大极小值之间的过零点，在此基础上对过零点位置相对于峰值位置的误差进行一定程序的修正。
五、结语
本文写了一些本人对于小波分析课程的简单理解，并对小波变换在脉搏波信号去噪以及特征提取方面做了全面的总结，并将利用小波重构与 EMD 结合的方法，对实际采集的脉搏波数据进行处理，取得较好的实际效果。
小波重构算法能够很好的去除脉搏波信号频段外的高频噪声，且通过多层分解能够提取出基线信号，由此可以扣除基线漂移。我们同时得出，相对于信噪比较低的信号，小波重构算法能够比较简单快捷的去除高频噪声。相较于小波阈值去噪和小波模极大值去噪，小波重构算法更简单，计算量小。对于与脉搏波信号重叠的运动伪差信号，包括目前一些已有算法，比如小波阈值法、 小波模极大值法和独立分量分析法等却无能为力。有人提出自适应滤波可以抑制运动噪声，但是自适应滤波法的限制条件很多，比如参考信号的选取非常关键也非常难以确定。因此本文初步适用小波变换结合EMD的方法实现运动伪差噪声扣除，去得较满意的效果，初步可见该方法在去除低频运动噪声方面有着很大的潜力。然而该方法尚待进一步的完善, 有很多问题还值得研究。对于脉搏波特征值的提取采用的是小波分解寻找脉搏波信号的极大值和极小值。小波变换对于脉搏波特征值提取是很有效的。
小波变换对于脉搏波信号的去噪以及特征提取显示出较高优越性，在医学信号处理中有着很好的应用前景。